解説
A hard-line conservative で「保守強硬派」の意味です。conservative には名詞で「保守的な人、保守派」と形容詞で「保守的な」の意味があります。hard-line は名詞の前に置いて、「強硬路線の、妥協しない」の意味ですので、合わせて覚えましょう。
consecutive は形容詞で「連続した」の意味です。consecutive wins なら「連勝」となります。
consequent は形容詞で「＜〜の＞結果として起こる、続く」のいみです。発音を確認しましょう。relieve the burden on the people consequent on rises in the cost of living（生活費の高騰の結果として起こる国民の負担を軽減する）
A hard-line conservative hopes to be Japan's first female leader.（保守強硬派が、日本初の女性リーダーを目指す）
日本の自民党総裁選の高市候補について取り上げられています。ただの「保守派」ではなく、hard-line がついていますので、「保守強硬派」という扱いです。
日本は国会における女性議員の割合が15％以下と低く、21人いる現閣僚のうち女性はたった2人という状況です。世界の先進国に比べると、圧倒的に少ない数となっています。
そこで、高市氏が自民党総裁選になれば、「日本初の女性リーダー」が誕生するという点に注目した内容です。ただ、高市氏本人は、夫婦別姓を認めない立場を取るなど、女性の活躍、社会進出にとってプラスとなるかは未知です。
https://www.nytimes.com/2021/09/20/world/asia/japan-election-sanae-takaichi.html