解説
Provided her children come back in time とすれば、「自分の子供たちが時間までに帰宅すれば」と条件を表す副詞節をつくることができます。provided (that) S + V ... となり、provided は「接続詞」扱いです。
without は「前置詞」ですので、直後に S + V ...を置くことはできません。「前置詞の目的語」は「名詞」や「動名詞」です。
otherwise は「副詞」ですが、前文を受けて、接続詞と同じように使う場合もあります。「もしそうでなければ」や「そのことを除けば」などの意味では、前の文を受けて使います。
provided ( that ) は「条件」を表しますが、「仮定法」の時制は使えません。providing ( that ) となる場合もありますが、こちらも仮定法は使えません。「〜という条件で」の意味ですから、as long as ... と同じです。これらは「時や条件を表す副詞節」ですから「未来のことでも現在形で表す」という点に注意が必要です。
同じく条件を表す supposing ( that ) がありますが、こちらは仮定法の時制「も」使うことができます。Supposing it were true, what would you do? もしそれが本当なら, 君はどうする。[ウィズダム英和辞典]
if 以外に条件を表すものは数が多く、混乱しやすいところです。ということは、難関大レベルでは出題されやすいということです。一度、辞書を丁寧にチェックして頭に入れましょう。