解説
enter into A で「A を始める、A に携わる」の意味があります。enter は「部屋に入る」など、物理的な場所に入るという意味では、他動詞ですが、「議論に入る、会話に入る」などでは自動詞扱いで、enter into となります。
rule over は「〜を治める、統治する」の意味です。rule (over) a country なら「国を治める」です。over を書かない場合もあります。
open up は「鍵を開ける、店を開ける、切り開く」などいろいろな意味があります。
Even the most trivial action must be performed in a careful manner to prevent godlessness from entering into everyday routines.（些細な行動であっても、丁寧に行うことで、不信心なものが日常の中に入り込まないようにしなければなりません。）
慶應の問題だけあって、空所以外の部分も簡単ではありません。こうした点でも、語い力の重要性がわかります。形容詞の godless は「神を認めない[信じない], 無神論(者)の; 不信心な」の意味です。それを名詞にしたのが、godlessness です。「不信心が入り込む」ではわかりにくいですので、「不信心な振る舞い」「不信心な生活」など、前後関係から補って解釈しなければすっきりとは読めませんね。