解説
alphabetically は副詞で「アルファベット ( ABC ) 順に」の意味です。形容詞は alphabetical ですので、これを使えば、 in alphabetical order となります。
alphabet は名詞ですが、by や in とともにこの意味で使う表現はありません。alphabet はアクセント注意です。/ǽlfəbèt/ となり、一番前に第一アクセントがあります。カタカナの音だと後ろにアクセントがありそうですね。
alphabetically は副詞で「アルファベット ( ABC ) 順に」の意味です。形容詞は alphabetical ですので、これを使えば、 in alphabetical order となります。
alphabet は名詞ですが、by や in とともにこの意味で使う表現はありません。alphabet はアクセント注意です。/ǽlfəbèt/ となり、一番前に第一アクセントがあります。カタカナの音だと後ろにアクセントがありそうですね。
The teacher opened her book and started calling out names alphabetically.（先生は本を開いて、アルファベット順に名前を読み上げ始めた）
「アルファベット順に」は、alphabeticallyです。「番号順に」なら numerically、「時系列に」なら chronologically です。
辞典などの後ろについている「索引」は index ですので、「ABC順の索引」なら、the alphabetical index と言えます。また、the alphabetically ordered index とも言えます。この場合は、ordered という過去分詞（形容詞）を修飾しますので、alphabetically は副詞でなければなりません。