解説
＊三択問題に変更しています。
「with + O + 現在分詞」で「付帯状況」を表します。「O が〜して」の意味が基本です。" "all three children constantly calling for attention 部分に注目します。「S + V ...」という形がありません。つまり「文」ではないということです。そうすると、「接続詞」は置けないことになります。「接続詞」は完全な文をひとまとめにする働きがある品詞だからです。
providing は providing that となることもありますが、「接続詞」扱いです。「〜という条件で」の意味です。provided (that) も同じです。
while の品詞は「接続詞」か「名詞」です。接続詞の while は大きく３つの意味を整理しておきましょう。時・譲歩・対比です。名詞は for a while 「しばらくの間」などで使います。
With all three children constantly calling for attention, it must have been difficult to concentrate.（3人のお子さんが絶えず注目してもらおうとしている中で、集中するのは大変だったに違いありません）
With all three children constantly calling for attention に付帯状況の「O が〜して」を当てはめて訳すと「３人の子どもたち全員が常に注意を要求して」となります。「with + O + 現在分詞」の場合は、「O（目的語）」 と「現在分詞」の間に、「能動の関係」があります。「S が V する」の関係が「能動の関係です」
「受動の関係」の場合は、「with + O + 過去分詞」となり、「O が〜されて、O を〜して」の意味です。She was sitting with her legs crossed.（彼女は脚を組んで座っていた。）her legs と crossed は「受動の関係」にあります。her legs は「組まれる」となるからです。
後半の、it must have been difficult to concentrate における「it」は「仮主語（形式主語）」で、to concentrate を指しています。must have been は「助動詞＋have＋過去分詞」となっており、「〜したに違いない」の意味です。これは「現在から見た過去の推量」です。