解説
request that 節における時制の問題と、keep O C における O と C の問題が絡んでいます。
request は「提案・要求・命令」の意味を持ち、that 節内は「仮定法現在」となります。that 節内は S+(should)+原形です。requested が過去形ですが、いわゆる「時制の一致」は受けません。
inform A of B で「A<人>にB<情報など>を知らせる」です。ここでkeep O C との関係を考えると「me が inform される」となり「受動関係」がありますから、keep me informed となります。
I requested that she (_____) of her condition.（私は、彼女の体調を私に知らせてくれるよう依頼しました。）
「仮定法現在」は S+V that S'+V'... のとき、V に来る動詞が「提案・要求・命令」の意味をもつ場合に、V' の動詞が、should+原形 となるルールです。should は省略されることが多いので、いきなり原形が出てきます。現在形ではありませんので、くれぐれも間違わないように気をつけてください。
代表的な動詞
advise, agree, allow, arrange, ask, beg, command, consent, decide, demand, desire, determine, dictate, direct, insist, instruct, intend, move, order, pledge, prefer, propose, recommend, request, require, resolve, rule, stipulate, suggest, urge, vote
リストの丸暗記は難しいですが、だいたい「提案・要求・命令」の意味だなと確認しておきましょう。ただし、これらの動詞でも、「提案・要求・命令」以外の意味の場合は「仮定法現在」になりませんので、文法問題では意味を見極める必要があります。